A Análise Funcional é uma área de pesquisa em Matemática dedicada ao estudo de problemas relacionados aos espaços de funções ou, de forma mais geral, aos espaços vetoriais de dimensão infinita. O ramo da Análise Funcional responsável pelo estudo de problemas não lineares é popularmente conhecido como Análise Funcional Não Linear. Nela confluem diversas técnicas da Análise Matemática, tais como Métodos Abstratos de Aproximação, Técnicas de Pontos Fixos, Métodos de Continuidade, Estimativas a priori, Teoria do Grau, Método Direto do Cálculo das Variações, entre outras.

As Equações Diferenciais Parciais (EDPs) têm atraído grande interesse de pesquisadores de áreas aplicadas do conhecimento, como Matemática Aplicada, Física, Engenharia, Economia e Biologia, uma vez que diversos problemas dessas áreas apresentam questões em aberto que constituem desafios a serem superados, sendo tais problemas modelados por essas equações. Do ponto de vista matemático, o estudo das EDPs envolve diversas dificuldades, como, por exemplo, a falta de compacidade que ocorre em algumas imersões de Sobolev. Esse fato implica dificuldades em provar a convergência de certas sequências de soluções aproximadas (como as sequências de Palais–Smale associadas ao funcional de Euler–Lagrange).

Outra dificuldade, de natureza mais técnica, surge no estudo de EDPs envolvendo operadores degenerados ou fracionários (ou, de modo mais geral, problemas não locais), nos quais aparecem obstáculos na obtenção de estimativas e resultados de regularidade. Essa linha de investigação busca, essencialmente, estabelecer métodos que permitam determinar condições e fornecer conclusões qualitativas e quantitativas acerca da existência ou não existência de soluções para certas classes de equações diferenciais não lineares.

Para o desenvolvimento deste estudo, dispomos de diversas técnicas consagradas na literatura, tais como: Métodos Variacionais, Teoria do Grau Topológico, Método de Sub e Supersolução, Iteração Monotônica, Método de Galerkin e o Método de Fibering associado à Variedade de Nehari, entre outras.

Dentro dessa linha de pesquisa, são estudados temas relacionados a:

• Espaços vetoriais topológicos, em especial os espaços de Banach, com ênfase na teoria de operadores lineares entre espaços de dimensão infinita e suas conexões com outras áreas e aplicações. Teoria estrutural dos espaços de Banach e dos reticulados de Banach, geometria dos espaços de Banach, dinâmica linear, ideais de operadores, lineabilidade em espaços de sequências e de funções.

• Aplicação das técnicas da Análise Funcional a problemas não lineares, associados a tipos especiais de operadores não lineares e/ou provenientes da teoria das equações diferenciais e de modelos matemáticos aplicados.

• Produtos tensoriais topológicos, holomorfia em dimensão infinita, espaços de operadores multilineares e polinômios homogêneos, propriedades dos espaços de Banach associadas a operadores não lineares, equações diferenciais generalizadas e sistemas dinâmicos com impulso.

• Operadores integrais, fatoração de operadores, análise na esfera e teoria da aproximação em espaços abstratos.

• Equações de reação e difusão: existência de soluções e comportamento assintótico. Estudo de equações de evolução, com ênfase na equação de Schrödinger e em equações parabólicas envolvendo o operador p-laplaciano e suas variações.

• Estudo de sistemas dinâmicos de dimensão infinita (semigrupos, semigrupos multívocos, processos e processos multívocos) aplicados às EDPs, incluindo problemas sem garantia de unicidade de solução, como as inclusões diferenciais parciais.

• Equações Diferenciais Parciais Elípticas: existência, multiplicidade e comportamento assintótico de soluções para problemas elípticos não lineares em domínios limitados ou ilimitados. Teoria de regularidade, estimativas a priori e princípio de comparação em equações diferenciais. Aplicações da Análise Funcional Não Linear em problemas não variacionais, incluindo problemas com termos não locais do tipo Kirchhoff e operadores magnéticos.

• Sistemas termo-viscoelásticos: estudos de boa colocação e estabilidade de soluções via técnicas espectrais, taxas ótimas de decaimento e Teoria de Atratores aplicadas às EDPs.